Der "Hausaufgaben-Helfen" Tread

[assasine94-2]

So, ich bin's wieder. Sollte wohl etwas besorgt sein, dass ich so oft hier reinschreibe ^^

 

Geht um Ableitungen, Ableitungsfunktionen und Tangentengleichungen. Da ich ja jetzt in einer neuen Klasse bin, merke ich erst jetzt wie grottig der Lehrer vom vergangenen Jahr war.

So. Mit Ableitungen habe ich grundsätzlich kein Problem, nur hatte ich bisher nie gelernt wie ich Wurzeln und Brüche ableite oder wenn auch keine Exponenten da sind.

Bsp.: 2*sqrt(x) + 1 Ich weiß was rauskommt (2/x^2), weiß aber nicht wie ich das selbst rechnen müsste. Oder auch jetzt die 2. Ableitung 2/x^2 oder (x + 1)*2/x oder 1 - 2/x - wie gehe ich da vor?

 

Ableitungsfunktionen. Hier ist eine Aufgabe bei der ein Graph zu sehen ist und man einige Sachen ausfüllen muss nur vom bloßen Betrachten des Graphen. Bei Sachen wie "lokaler Maximum" oder "f(0) = (y-Schnittpunkt)" ist das kein Problem - nur verstehe ich nicht wie ich Sachen aus den Ableitungsfunktionen vom Graphen ablesen soll?!

Bsp.: Was für ein Punkt wäre denn "f'(0) = ?" Die erste Ableitung nutzt man ja für die Nullstellenberechnung, aber wo sieht man denn den y-Schnittpunkt der ersten Ableitung beim Graphen der Original-Funktion?! Oder woran sehe ich das Vorzeichen von "f''(0) = " oder "das lokale Minimum von f' " ?

 

Mein letzter Punkt wäre dann das Aufstellen einer Tangentengleichung an einem bestimmten Punkt (i.d.F. ( 2|f(2) ). Wir haben das letztes Jahr mit der h-Methode gemacht, aber da nur mit Funktionen vom Kaliber "x^2" und das führt mich zu keinem Ergebnis wenn die Funktion "-x^2 + 6x -5" lautet. Weiß gar nicht wie ich da vorgehen müsste

 

So, ist eine Menge Stoff, würde mich aber freuen wenn mir da jemand helfen müsste. Um meinen Stolz wiederherzustellen will ich noch los werden, dass ich letztes Jahr 13pkt hatte und nur unser Lehrer sehr langsam vorging. Deswegen hinke ich im LK ein wenig hinterher :/

 

Ach, es wurde noch gar nicht geantwortet?

 

Okay, dann mal von mir:

 

A. 1.Ableitung der Wurzel

Also die Ableitung √x steht im Normalfall in jeder Formelsammlung, das ist immer 1/x² (bzw. wenn du es anders sehen wills x^-0,5)

 

ALLES, was kein X in seinem "Term" (weiß gerade nicht, ob man das so nennen darf) hat, fällt bei einer Ableitung nach x (also nach dem Wert in der Klammer; f(x)) raus, das bedeutet also bei deinem Beispiel (Zum Verständnis klammere ich mal die zusammengehörenden "Terme" ein) :

 

f(x) = (2 * √x)+ 1

f'(x) = (2 * (1/x²)) -> 2/x² (q.e.d.)

 

B. 2. Ableitung der Wurzel

 

f(x) = (2 * √x)+ 1

f'(x) = 2/x²

 

Das wissen wir ja jetzt. Um jetzt weiter ableiten zu können brauchen wir eine der "Ableitungsregeln", die "Qutientenregel", die sieht folgendermaßen aus:

 

Ursprung -> Ableitung

 

f(x)/g(x) -> (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)²

 

Sieht erstmal kompliziert aus, ist aber bei deinem Beispiel ganz einfach, wenn du erstmal beide "Komplexe" einzeln ableitest,

 

f(x) = 2; f'(x) = 0

g(x) = x²; g'(x) = 2x

 

und dann einfach nach der oben gezeigten Formel vorgehst:

 

f(x) = (2 * √x)+ 1

f'(x) = 2/x²

f''(x) = (0 * x² - 2 * 2x) / (x²)² -> -4x/x^4

 

Falls es da noch Fragen gibt, einfach mich, oder AlexiusD fragen (letzterer studiert(e?) Mathe auf Lehramt)

 

C. Zusammenhang von Ausgangsfunktion und Ableitung

 

Wie du schon richtig sagtest nimmt man die erste Ableitung um die Extrempunkte der Ausgangsfunktion zu bestimmen, das ganze lässt sich allerdings demnach ja auch umgekehrt machen.

- Wenn du weißt, dass an einem Vorzeichenwechsel von (+) -> (-) ein lokales Maximum bei der Ausgangsfunktion vorliegt, wie wird dann wohl der Graph der Ableitung verlaufen, wenn im Ausgangsgraph ein lokales Maximum zu sehen ist?

 

Auf die von dir gestellten Fragen versuche ich auch mal zu antworten:

 

-Was für ein Punkt wäre denn "f'(0) = ?" Kommt natürlich ganz auf den Graphen der Ausgangsfunktion an, im Normalfall wird man dir hier einen erkennbaren Graphen zeigen (lernt man ja auch, wie man vom Graphen einer Funktion auf die Funkion schließen kann, mit Verschiebung auf der X- und Y-Achse.

 

-Aber wo sieht man denn den y-Schnittpunkt der ersten Ableitung beim Graphen der Original-Funktion?! Du meinst den y-Wert, oder? Hätte ich gesagt wie beim ersten, oder aber die Aufgabe ist so gestellt, das ein lokales Minimum/Maximum bzw. ein Sattelpunkt/Terassenpunkt beim Ausgangsgraphen vorhanden ist, dann ist der y-Wert einfach 0, da die Steigung aus dem Punkt des Graphen ersichtlich ist (die Ableitung stellt ja eigentlich nur die Steigungen des Graphen an seinen Punkten dar). Wenn du den x-Wert des Schnittpunktes meinst, der ist ja logischerweise immer 0

 

- Oder woran sehe ich das Vorzeichen von "f''(0) = " oder "das lokale Minimum von f'"? Das lokale Minimum von f' bzw. das lokale Maximum musst du über die Wendepunkte bestimmen, geht die Kurve des Ausgangsgraphen von einer Links- in eine Rechtskurve über, hat der Graph von f' dort ein lokales maximum (da die Steigung ab dem Wendepunkt kleiner wird), geht die Kurve des Ausgangsgraphen von einer Rechts- in eine Linkskurve über, so hat dort der Graph von f' ein lokales Minimum.

 

Das Vorzeichen von f'(0) kannst du "ablesen", indem du dir ansiehst, ob eben bei 0 eine positive oder eine negative Steigung vorliegt, wie man das berechnet solltest du noch wissen ;)

 

D. Tangentengleichung

 

Hier musst du einfach einen Punkt der Tangente (im Normalfall der Berührpunkt zwischen Kurve und Tangente) berechnen und diesen dann in die allgemeine Tangentengleichung y=a*x+b (a = Steigung der Tangente; b = Verschiebung anhand der y-Achse)

 

Nehmen wir mal dein Beispiel:

 

f(x) = -x^2 + 6x -5

 

Gesucht ist die Tangentengleichung die die Kurve am Punkt (2|f(2)) berührt. Als erstes berechnen wir den Berührpunkt, da wir dafür nur den Wert x=2 einsetzen müssen:

 

f(2) = -(2)²+6*2-5

f(2) = -4 + 12 - 5

f(2) = 3 <- y-Wert des Berührpunktes

 

Kleiner Tipp, wenn du den Graphen irgendwo hast, einfach da nachschauen bei GTR oder wenn nur der Graph als Bild vorhanden ist, schau ob dein Ergebnis überhaupt stimmen kann.

 

Wir wissen nun also einen Punkt der Tangente, nämlich P(2|3), nun brauchen wir noch die Steigung der Tangente, diese berechnen wir einfach, in dem wir die Steigung am Wert x=2 berechnen, indem wir x=2 in die Ableitungsfunktion einsetzen:

 

f(x) = -x^2 + 6x -5

f'(x) = -2x+6 (einfach zweimal die Potenzregel und einmal die Summenregel anwenden)

 

f'(2) = -2 * (2) +6

f'(2) = 2 <- Steigung der Tangente

 

Nun hast du also folgende Werte:

 

Den x-Wert eines Punktes auf der Tangente: 2

Den y-Wert dieses einen Punktes auf der Tangete: 3

Die Steigung der Tangente (Steigung des Berührpunktes): 2

 

Du kennst auch die allgemeine Tangentengleichung: y = a * x + b

 

Nun setzen wir einfach unsere bekannten Werte ein und lösen nach b auf:

 

3 = 2 * 2 + b

3 = 4 + b

b = 1 <- Verschiebung auf der y-Achse

 

Und nun hast du deine Tangentengleichung vom Punkt (2|f(2)) der Funktion f:

 

y = 2x -1

 

Sollte etwas nicht stimmen, bitte aufklären, ich übernehme allerdings keine Haftung für etwaige Fehler

[AlexiusD]

 

A. 1.Ableitung der Wurzel

Also die Ableitung √x steht im Normalfall in jeder Formelsammlung, das ist immer 1/x² (bzw. wenn du es anders sehen wills x^-0,5)

 

 

 

sorry,hab grade keine zeit alles durchzulesen(bzw keine lust nach der lernerei),aber hier seh ich direkt was.

 

1/x² ist was anderes als x^-0,5

 

zweiteres ist die richtige ableitung von "wurzel x",das erste ist falsch

[assasine94-2]

sorry,hab grade keine zeit alles durchzulesen(bzw keine lust nach der lernerei),aber hier seh ich direkt was.

 

1/x² ist was anderes als x^-0,5

 

zweiteres ist die richtige ableitung von "wurzel x",das erste ist falsch

 

Okay, schau gerade das erste Mal drüber, der Anfang ist noch von heute um 11 Uhr, als ich zuletzt am PC saß, da ist mir echt ein dicker Fehler unterlaufen, ich meinte eigentlich 1/2*sqrt(x) das sollte aber stimmen, oder?

[Reedler]

Wow, echt superfettes Danke dafür! Weiß gar nicht was ich sagen soll, befürchte dass es eh nicht deinem Aufwand gerecht wird. Dank dir habe ich jetzt alles verstanden und noch was hinzugelernt. Zum Hinzugelernten hätte ich jedoch eine Frage:

bei der Quotientenregel wird ja der Term quasi in mehrere Teile zerlegt um dann von der Formel aus die Ableitung herzuleiten. Wie würde die Formel aber bei drei oder mehr Teilen aussehen?

[janjandeb]

Die Ableitung von "Wurzel aus X" ist 0.5 x^-0.5, oder 1/(2*"Wurzel aus X").

[AlexiusD]

Okay, schau gerade das erste Mal drüber, der Anfang ist noch von heute um 11 Uhr, als ich zuletzt am PC saß, da ist mir echt ein dicker Fehler unterlaufen, ich meinte eigentlich 1/2*sqrt(x) das sollte aber stimmen, oder?

 

 

ja das stimmt jetzt.wie gesagt,den rest hab ich nicht gelesen,aber im normalfall hast du das ja ganz gut drauf:zwinker:

[Reedler]

Huhu, ich bin's wieder ^^

 

Geht darum eine Ortskurve zu zeichnen. Die Funktion (der Wendepunkte der Graphenschar) habe ich bereits aufgestellt (erstmal Wendepunkt ausgerechnet, nach x umgeformt und anschließend in den y-Wert des Wendepunktes eingesetzt), entspricht 16x^3

 

Nun sollen wir drei Graphen zu den Punkten (3|0), (-3|0) und (0|-27) zeichnen. Meine Frage wäre nun, da ich mir recht unsicher bin, wie ich diese drei Graphen zeichnen soll Einfach in die Funktion einzusetzen würde ja nur wenig bringen bzw. mich nicht zu drei versch. Graphen führen.

[janjandeb]

Wenn ich das richtig verstehe (und es jetzt nicht schon zu spät ist ;)) sollst du wohl die Variable der Funktionsschar so wählen, dass sie jeweils zu den 3 Punkten passt? Also x und y einsetzen und nach der Variable umstellen. Dann solltest du so sehen können ob die Ortskurve stimmt (wenn du die dazu zeichnest). Anders kann ich mir das nicht erklären ;)

[Reedler]

Bin denke ich mittlerweile Stammposter hier ^^

 

Gegeben ist folgende Funktion f(x) = a/(2x) * (e^(cx) + e^(-cx)) ; a, c sind größer als 0

 

Ich habe nun den Tiefpunkt ausgerechnet, welcher bei (0 | a/c). Bin mir auch ziemlich sicher, dass das richtig ist.

Da die Funktion die Seile einer Brücke gefragt, wird folgende Aufgabe gestellt:

Bestimmen Sie a und c so, dass das Seile den tiefsten Punkt mit 5 erreicht hat und die beiden Aufhängepunkte einen Abstand von 200 haben und je 30 hoch sind.

 

Heißt ja wohl dass a/c = 5 ist. Also a = 5c

Da der Graph achsensymtrisch ist, habe ich versucht von

f(100) = 30

Nach c umzuformen und habe i.d.F. für a halt 5c eingesetzt. Ding ist nur, es lässt sich nicht nach c umformen, oder ich bin nur zu blöd dafür. Habe es mittlerweile dreimal probiert und die anderen aus dem Kurs haben auch keine Idee.

[Keisulution]

Guten Abend

 

ich hätte mal eine Frage und zwar habe ich bei folgender Aufgabe ein großes Problem.

x^k-1 * y^2k + 1 / x^-k * y^2k-2

 

Kann mir jemand erklären wie das geht? Am besten mit einer Lösung inkl. Erklärung.

 

Vielen Dank für eure Hilfe